form1.csからClass1.csに、具体的な手順を移動してみました。
form1.cs
private void button_Click(object sender, EventArgs e)
{
program1 p1 = new Class1();
p1.execute1();
}

Class1.cs
class Class1
{
execute1(object sender, EventArgs e){
//具体的な処理
}
}

エラー 1 メソッドは戻り値の型を持たなければなりません。
あと、具体的な手順のなかに、textBox1.Textがあり、これはFormを必要としていると思うのでなんとなく気になる。
private void execute1(object sender, EventArgs e){
としてみたら、予想はいやなほうに的中し、「現在のコンテキスト内に存在しません」のエラーが大量に発生…。

>>812、>>813
です。そんなレベルでなく、クラスの概念がわかってないです…。入門書読んでも、ちっともぴんと来ないんです…。