記述がむちゃくちゃですので、修正しておきます
>「1/cosθは θ=0 のとき発散するから、公式で k=0 または k=1 のときは、第一種の完全楕円積分の値が数値積分ではでない」

そもそも数値計算で積分を求めたときはあくまでも近似値に過ぎないことを前提とし
ても、1/cosθはθ=↓0の時+∞に発散するので、kを1に近づける特に精度が落ちます
ので問題の関係式が成立することをうまく説明できないかも知れません。
本当にこの関係式が成り立つことを数値的に確かめたいというのであれば、
もう少し工夫が必要でしょう。