>>317後者
ふつーは、
・ check_zaiko.cgi（で使ってるファイル）を require や load する
・ CGI の引数を分解したものを直接受け取ってるクラス（のnew）やメソッドに 'itemid'=>['hoge'] を指定
・ zaiko.to_s を適当に利用する
という流れになると思う
（CGIスクリプトが出力しようとしているものを文字列として横取りするというのは方法論としては「ありえねー」）
なので、 check_zaiko.cgi の中身は

require '標準ライブラリいろいろ'
require '自作ファイルいろいろ'
require 'checkzaiko.rb'

cgi = CGI.new
zaiko = CheckZaiko.new(cgi.params)
cgi.out() do
zaiko
end

とかいう単純な中身になってることが期待される
これなら、 view_cart.cgiでは

require 'checkzaiko.rb'
m_param = {'itemid'=>['hoge']}
m_zaiko = Checkzaiko.new(m_param).to_s

と書くだけでいい
もしcgiファイルに直接メソッドとかを書いてるなら、今回のように再利用するときに非常に面倒なので
てきとーなクラスで囲って別ファイルにしてrequire で読み込んどけ
（初心者は「クラス名とは…」とか「クラスの本質はそもそも…」とかいう小難しい理論は後回しでOK）