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辿るのはクラスなのオブジェクトなの？
初期化するのはクラス毎なのオブジェクト毎なの？
どんな処理しようとしてるのかが良く分からない。
擬似コードでいいから書いてみてくれた方が答えやすい。

「クラス毎に１度だけ」の条件を抜いた上で感覚で答えれば、
それが本当に「初期化」ならコンストラクタにすると思う。
状態の再設定が必要なら reset() みたいなメソッドも作るだろうね。

>各クラスのグローバルスコープ
言いたいのはクラススコープじゃね？