レスありがとうございます！説明不足でスマソでした。

最小限のコードを書いてみると、
private void webBrowser1_DocumentCompleted(object sender, WebBrowserDocumentCompletedEventArgs e)
{
　　string testMoji = "例外発生前です";
　　MessageBox.Show(int.Parse(testMoji).ToString());　　// throw new ApplicationException();　でもいいです
　　testMoji = "例外発生後の行です";
　　MessageBox.Show(testMoji);
}
結果はtestMojiに「例外発生前です」を代入しただけで終わってしまいます。
「終わってしまう」というのは、ただプログラム全体が固まるわけではなく、
何もイベントが発生していない状態に戻ってしまうだけです。
（本来だったらプログラム全体の実行がとまり、Visual C#が
プログラムのエラー箇所でエラー内容とヒントのダイアログを出すはずです）

試行錯誤してみると、webBrowserのDocumentCompleted以外にもNavigatedや
Navigatingイベントも同様にVisual C#が例外を無視しました。

try〜catch文を入れれば例外をcatchで拾うことは出来るのですが、
try〜catchを入れない時ではVisual C#がそれを例外として検出してくれません。

プログラムのデバッグ時に、例外が検出されないとどこにバグがあるか探しにくいので困っていますorz
長文失礼しました。よろしくお願いします。