std::stringとかのメンバーならコピーすれば内容も新しいヒープにコピーされる。
自分のクラスのメンバ変数がポインタで、そこに何かを格納している場合、
コピーを作るときは、自分でnewして、そこにポインタの指すメモリ内容を転写するんだよ。
同じものを複数のポインタが見ていて問題ない設計ならOKだが。