初心者の840と、説明不足な841と、頭の悪い842のために説明しましょう。

名前に$が入っているファイルは、匿名クラス（無名クラス）を使った為にできたクラスファイルです。
匿名クラスについてはこちらを読んでください。
ttp://sjc-p.obx21.com/word/jt/anonymousclass.html
匿名クラスを使わないようにコードを修正すれば
$の入ったクラスファイルが生成されることはなくなりますが、
コードを修正しない方法もあります。
それは、jarというツールを使用して、全てのクラスファイルを、
$の付かない1つの圧縮ファイルにまとめてしまうことです。
これにより、$の付かない任意のファイル名を付けることができますので、
ファイル名に関する文字や長さの制限から解放されます。

jarの使い方は>>841のとおりですが、こちらも参考になります。
ttp://www.hellohiro.com/jar.htm
アプレットもそうですがJavaでは、このjarにより圧縮されたファイルから
クラスを読み出すことができるようになっています。
それをアプレットで行う場合のHTMLの書き方は以下のページが参考になるでしょう。
ttp://java.sun.com/j2se/1.4/ja/docs/ja/guide/jar/jarGuide.html