LWPについての質問なのですが、
GETリクエストでリダイレクトが返ってきた時、LocationヘッダのURLを取得したいのですが、可能でしょうか。

$cookie_jar = HTTP::Cookies->new(file => "$ENV{'HOME'}/.temp_cookies.txt", autosave => 1, ignore_discard => 1);
$ua = LWP::UserAgent->new;
$ua->cookie_jar($cookie_jar);
$url = "http:.//hoge.example.com/redirect.jsp";
$request = HTTP::Request->new(GET => $url);

このようなコードを書いたのですが、複数回リダイレクトするため、途中のURLがわからなくなってしまいます。
HTTP::Liteでヘッダ取得して頑張るという手段も考えたのですが、Cookieも使いたいのでできればLWPでやりたいです。
よろしくお願いします。