> q が合成数だとすると q は pi のいずれかを用いて積の形に表されるはずである。

そうとは限らない
 2  + 1 =
3 is a prime.

 2 x 3  + 1 =
7 is a prime.

 2 x 3 x 5  + 1 =
31 is a prime.

 2 x 3 x 5 x 7  + 1 =
211 is a prime.

 2 x 3 x 5 x 7 x 11  + 1 =
2311 is a prime.

 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13  + 1 =
30031 is 509 x 59

 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17  + 1 =
510511 is 97 x 5263

 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19  + 1 =
9699691 is 27953 x 347

 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23  + 1 =
223092871 is 703763 x 317