何かもうわけわからんな。
１．
print "/home/$user_name/\.qmail";
print "/home/hogehoge/\.qmail";
print "$dot_qmail_path";
をして、３つの出力をブラウザのソース表示で全て同じであることを確認

２．
A. if ( -r "$dot_qmail_path" && -w "$dot_qmail_path" ) {
B. if ( -r "/home/$user_name/.qmail" && -w "/home/$user_name/.qmail" ) {
C. if ( -r "/home/hogehoge/.qmail" && -w "/home/hogehoge/.qmail" ) {

の3種類を試してみて、本当に「C.だけが成功する」のかどうか確かめる。

３．
「実はうまくいってるのに、うまくいってないと勘違いしてるのでは？」等を疑う。