button1.Click はイベントなので、
普通の関数みたいな呼び出し方は出来ません。
button1 の Click イベントに対応する処理が button1_Click メソッドです。
コードエディタによって追加された部分に、
this.button1.Click += this.button1__Click(...)
と言った記述があるはずです。

で、button1_Click 自体はただのメソッドですから、
これを普通に呼び出せばそれで OK です。

private void some_Procedure(...){
...
this.button1_Click(...);
...
}