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TClientSocketは最低限のデータの送受信機能しかありあせん。
そこで、HTTP手順を実装する必要があります。
ネットでRFCを検索して自分で実装しましょう。

これが無理ならIndyというフリーのコンポーネントがあります。

たとえばヤフーのトップページを取得するには下のようになります。

with IdHTTP1 do
begin
Host := 'www.yahoo.co.jp';
Port := 80;
Memo1.Lines.Text := Get('/index.html');
end;

Indyを使えば簡単にできると思いますが、
WEB(HTTP)を理解するのが先決でしょう。