記述が数学的じゃないかもしれん
間違ってたら指摘してくれ
表がずれたらゴメソ

数学的帰納法を用いる

初期値 n[0] とし、
stepごとに n[1]、n[2]... と表すことにする。
n[k] ( ただし 0<k ) が条件を満たさないならば、n[0]も条件を満たさない。①


n[0] = 1 のとき、n[0] は条件を満たさない・・・②

n[0] > 1 のとき、
　1 <= k < n[0] を満たすすべての k が条件を満たさないと仮定する

　n[0] が偶数のとき
　　n[1] = n[0]/2 < n[0]
　仮定により n[0] より小さい n[1] は条件を満たさないため、n[0] も条件を満たさない・・・③

　n[0]が奇数のとき
　　これを2進数で表し、値が0になる最も下位の桁を R（ R>1 ）とする。・・・（A)

　　このとき、n[0] は

　　　　　↓R 桁目
　　xxx...x0111...1111(2)

　　と表せる(x = 0 or 1)

　　　n[1] = n[0]*3+1 = n[0] + ( (n[0]<<1)+1 )
　　なので

　　n[1] =
　　　　　　↓R 桁目
　　　xxx...x0111...1111(2)
　　+xxx...x0111...11111(2)
　　--------------------
　　xxx...xxx0111..11110(2)
　　　　　　↑R 桁目

　　n[1] は R 桁目が0、かつ2以上 R 未満の桁はすべて1の偶数である

　　ここで、R=2のとき、

　　　n[1] は1桁目、2桁目ともに0なので 4 の倍数、
　　　n[2] = n[1]/2 は偶数
　　　n[3] = n[2]/2 = n[0]/4 となる

　　　n[0]>1 より、n[3]<n[0]、仮定により n[3] は条件を満たさないため、 n[0] も条件を満たさない・・・④

　　R>2のとき

　　　n[2] = n[1]/2
　　　n[2] は(R-1)桁目が0、(R-1)未満の桁はすべて1の奇数になる。
　　　これに対して再び(A)を適用することで、
　　　n[R*2-4] は条件を満たさないことが分かる。
　　　R>2 なので R*2-4>0、よって n[0] も条件を満たさない・・・⑤

　　②③④⑤より、条件を満たす初期値 n[0] は存在しない