自己レスです。

Object#getClass() と Class#getName() というのを発見し、
自前アプレットの親コンポーネントが(すくなくともその名前は)わかりました。
ふーんって感じ。

でも、これでトップレベル(=アプレット)へのリファレンスを、
コンポーネントの階層の底からでも取り出す手段がとりあえず見つかりました。