面倒だからカウンタ X の添字は一番下を1、一番上を n とする。
t(X) = Σ[i=1〜n]{ (Π[j=1〜i-1]{ C[k] }) * X[i] }
以下では X を t の関数と考え、X(t)[i] のように書く。
時刻のときの A[i] の値 a(i,X) は a(i,X) = S[i] + D[i]*X(t)[i]
(1) A[i] の累積 f1(i) は f1(i) = Σ[t=1〜T]{ a(i,t) }
t=1〜T で X(t)[i] が値 k をとる回数は T/C[i] なので、
f1(i)
= T*S[i] + Σ[k=0〜C[i]-1]{ (D[i]*T/C[i])*k }
= T*S[i] + T*D[i]*(C[i]-1)/2
これを i=1〜n で和をとればよい。すなわち、Σ[i=1〜n]{ Y(i) }

(2) Qまでの A[i] の累積 f2(Q,i) は
f2(Q,i) = Q*S[i]+D[i]*Σ[k=0〜C[i]-1]{k*n(Q,i,k)}
ただし n(Q,i,k) はt=1〜Q で X(t)[i] が値 k をとる回数で
「Q÷C[i] = q あまり r」として、
k ≦ r なら n(Q,i,k) = q+1 であり r < k なら n(Q,i,k) = q である。
Σ[k=0〜C[i]-1]{k*n(Q,i,k)}
= Σ[k=0〜r]{k*(q+1)} + Σ[k=r+1〜C[i]-1]{k*q}
= ( (q+1)*(r+1)*r + q*(C[i]+r)(C[i]-r-1) )/2

(3) は (1) から (2) を引けばよい。