じゃあ、こういう説明？

ある連続関数f(x)を、多項式で近似したい。
（多項式で近似できるってことは分かってるとして）

x=0から始めることして、まずは、
直線（1次関数）で近似することにする。
すると、直感的にこれは、(0, f(0))でf(x)に接する
接線になるってことは、分かってくれますよね？
というわけで、xが0に近いときには、
f(x) ≒ f'(0)x + f(0) と近似できる。 … (1)

さらに、導関数f'(x)も近似したいということになると、
上でやったf(x)の例を、f'(x)に当てはめて、
f'(x) ≒ f''(0)x + f'(0) となり、 … (2)
(1)と(2)の結果を総合して、
f(x) ≒ (f''(0)/2) x^2 + f'(0) x + f(0) となる。

同様に、f''(x)も近似したいとすれば、
f''(x) ≒ f'''(0) x + f''(0) … (3)
(1)〜(3)より、
f(x) ≒ (f'''(0)/6) x^3 + (f''(0)/2) x^2 + f'(0) x + f(0)

で、これをずっと続けて、
f(x) ≒ f(0) + f'(0) x + … + (f^(n)(0)/n!) x^n + …

これだと、高次の導関数を順次等しくしていくと、
元の関数もそれに応じて、近似がよくなっていく
ということを説明し切れていないような…