再帰と極限と不動点にどういう関係があるんだ、とか思った奴のために。
長文なので興味がない人は無視してけろ。非ドキュソ大の数学科や情報科学科なら
そういう授業があると思うが、みんな興味を持たないので人気がない…

まずは高校数学の復習(?)から。

　　　　a_{n+1} = 0.5 a_n + 1

という漸化式を考える。_nとか_{n+1}とかは下付きの添字ね。
a_nのn→∞での極限は2になるんだが、これは

　　　　f(x) = 0.5 x + 1

なる関数fの不動点なんだ。いいかえると、

　　　　x = 0.5 x + 1

って方程式の解が極限になってる。
直観的には「数列が収束するあたりでは値が一定になる」って感じ。

さて、じゃあ再帰的関数の例として、

　　　　fact(i) = if i <= 2 then 1 else i * fact(i-1)

なる関数factを考える。このfactはどんな関数なんだ？って知りたかったら、

fact(i) = if i <= 2 then 1 else i * fact(i-1)
　　　　= if i <= 2 then 1 else i * (if i-1 <= 2 then 1 else (i-1) * fact(i-2))
　　　　= if i <= 2 then 1 else i * (if i-1 <= 2 then 1 else (i-1) * (if i-2 <= 2 then 1 else (i-2) * fact(i-3)))
　　　　= ...

みたく、再帰的定義をどんどん展開してみればいいわけだ。
こうやって展開した極限が、factの意味になる。
再帰的定義を展開していった極限を考えているのでであって、
fact(i)のi→∞での極限とは違うので、混同しないように注意。

だから、factって再帰的関数は、

　　　　f_n(i) = if i <= 2 then 1 else i * f_{n-1}(i-1)

みたいな漸化式で定義される関数列f_nの、n→∞での極限になるわけだ。
ただし初項f_0(i)は常にエラーを返すってことにしておく。

いいかえると、

　　　　F(f) = if i <= 2 then 1 else i * f(i-1)

なる作用素Fの不動点がfactなんだ。以上。

って、こんな説明じゃ元から知ってる人しかわからないか…