String theory
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0001名無しさん
NGNG0002名無しさん
NGNG３人程度募集。先着順。
週に一度、順番決めて好きなところまでレクチャーした後、
ROM専に答える。教科書はポルチンのstring theory２章
あたりから。
0003strminger
NGNG0004PetaByte
NGNGなんで２６次元になるのかからしてわかってないタワケ者ですが。
0005strminger
NGNG場の理論を知っていれば、大丈夫です。
（ポルチンの教科書は見たことありますか？あれで、行けそうだな
と思ったら是非是非！！）
0006strminger
NGNGだから、「講義」じゃなくて「ゼミ」なんですわ。
0007名無しさん
NGNGhttp://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0521633036/102-4132146-9331208
0008strminger
NGNGThanks!
0009strminger
NGNGじゃ、勝手にはじめるかな。
0010PetaByte
NGNGポルチンは持ってます。読んでないけど。
ときどき枕になってました。
strmingerさん、では初回をどうぞ。
0011strminger
NGNG>PetaByte様
すっばらし～。うれし～！
よろしく！
毎週木曜夜１１時に、書き込みましょうね～！！！
さてさて来週から出発です～。
もっともっと募集してるよ！ 随時発表者募集してます。
0012PetaByte
NGNG週１ですか？けっこう気の長い話しですよね。
レポーターの報告はそうするとしても、ちょくちょく
読んで気づいたことなど書いてしまってもいい？
0013strminger
NGNG勿論いいです。！！！
レポーターはそのペースで、ということです！！！
では、来週は１.2章からということで。
0014strminger
NGNG通し読みしてないのでたくさん間違ってるかも
http://www.geocities.co.jp/NatureLand/3160/
0015str.
NGNGを求める上では支障無い。適当になおして読んでください。
それじゃ（治すの面倒・・てへ）
0016＞講師さんたちへ
NGNG（計量）/（計量のdeterminant)=(induced metric)/(induced metricのdeterminant)
となってPolyakov actionとNambu-Goto actionを等しいとするのですが、
この上の式の導き方がわかりません。(計量)/((計量のdeetrminannt)=....
って言うところです。
0017>16
NGNGとか置くと、 （*はかけ算の意味）
g_{ab}=(1/2)*h_{ab}*g^{cd}h_{cd} ・・・・①
両辺detをとると、g= (1/4)*h*(g^{ab}h_{ab})^2 ・・・②
①を②で割れ。
すると求める式が符号プラスマイナスを除いて得られる。
符号をプラスにとるのは、g_{ab}がフラットで、
g_{ab}=diag{-1＠｀+1}の場合、h_{ab}=(d_a X)*(d_b X)
の(1＠｀1)成分もgと同じ符号をとると思われるからだと思うのだが・・
どうでしょうか。
0018PetaByte
NGNGとりあえず１．３節の最初から１頁くらい、点粒子の光錘量子化
の部分です。夜までにもう少し進められたらいいなって感じです。
0019PetaByte
NGNG光錘ゲージを使う。
x^± = (x^0 ± x^1)/√2
x^i (i=2..D-1) はそのまま
diff×Weylの余分な自由度を落とすことができる。
Lorenz共変性は見えなくなるが、
・臨界次元
・masslessゲージ粒子の存在
の導出が容易になる。
小文字を時空間座標 x^μ
大文字を世界面上の場 X^μ(σ＠｀τ) に使う。
計量の変換式を求める。
a_{-} = (x_0 - x_1)/√2 = - (- x_0 + x_1)/√2
= - (x^0 + x^1)/√2 = - a^{+}
同様に
a_{+} = - a^{-}
また
a^μ b_μ
= a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^i b_i
= - a^0 b^0 + a^1 b^1 + a^i b^i
と
- a^{+} b^{-} - a^{-} b{+}
= - (a^0 + a^1)(b^0 - b^1)/２ - (a^0 - a^1)(b^0 + b^1)/２
= - a^0 b^0 + a^1 b^1
0020PetaByte
NGNGa^μ b_μ = - a^{+} b^{-} - a^{-} b^{+} + a^i b^i
世界面上のパラメータ τ を τ = x^{+} とセットする。
このとき p^{-} はエネルギーの役割、x^{-} は空間座標
の役割、p^{+} は運動量の役割をすることになる。
x^i と p^i は transverse な量である。
前節で導入した点粒子の作用
S'_{pp} = (1/2) ∫dτ [η^-1 (d/dτ)X^μ (d/dτ)X_μ - η m^2 ]
を光錘座標で書き換えてみよう。
X^{+}(τ) = τ
より
(d/dτ)X^{+} = 1
となることを用いて、
S'_{pp}
= (1/2) ∫dτ [η^-1 {
- (d/dτ)X^{+} (d/dτ)X^{-}
- (d/dτ)X^{-} (d/dτ)X^{+}
+ (d/dτ)X^i (d/dτ)X^i }
- η m^2 ]
= (1/2) ∫dτ [η^-1 { - 2 (d/dτ)X^{-} + (d/dτ)X^i (d/dτ)X^i } - η m^2 ]
= (1/2) ∫dτ [- 2 η^-1 (d/dτ)X^{-} + η^-1 (d/dτ)X^i (d/dτ)X^i - η m^2 ]
正準共約運動量
p_μ = ∂L /∂(d/dτ)X^μ
は
0021PetaByte
NGNGを用いて
p_{-} = - η^-1
および
p_i = η^-1 (d/dτ)X^i
計量を用いて
p^i = p_i
p^{+} = - p_{-}
も出る。
Hamiltonian は Lagrangian を Legendre 変換して
H = p_{-} (d/dτ)X^{-} + p_i (d/dτ)X^i - L
= - η^-1 (d/dτ)X^{-} + η^-1 (d/dτ)X^i (d/dτ)X^i
- [- η^-1 (d/dτ)X^{-} + (1/2) η^-1 (d/dτ)X^i (d/dτ)X^i - (1/2) η m^2]
= (1/2) η^-1 (d/dτ)X^i (d/dτ)X^i + (1/2) η m^2
= (1/2) η p^i p^i + (1/2) η m^2
= η (p^i p^i + m^2) / 2
= (p^i p^i + m^2) / (2 p^{+})
ηについて一言。(d/dτ)η が作用に現れないので、p_η = 0
また η = - 1 / p_{-} であり、ηは独立な正準変数ではない。
このことは後に拘束系の理論を用いて正当化する。
量子化する。正準交換関係が
[p_i＠｀ X^j] = - i δ_i^j
[p_{-}＠｀ X^{-}] = - i
となり、
|k_{-}＠｀ k_{i}>
が完全系を張ることは量子力学の結果である。
0022名無しさん
NGNGX^{+}を \tauに置き換えることができるというのを
保証する対称性はなんですか？
「X^{-}とp{-}がtransverseな量」とありますが、
transverse な量とはなんですか？
0023PetaByte>22
NGNG>保証する対称性はなんですか？
τは勝手にとっても良いのではないですか？
特にそれ以上のことは必要無いと思うのですが。
間違ってたら教えてください。
>「X^{-}とp{-}がtransverseな量」とありますが、
>transverse な量とはなんですか？
X^iとp_iですね。光錘座標では X^0方向とX^1を特別扱い
しているので、それ以外のi=2からD-1の方向ということ、
そっち方向の座標と運動量の意味です。
いいのだろうか？？
0024PetaByte
NGNGS_P[X＠｀γ] = - 1/(4πα') ∫dτdσ √(-γ) γ^{a b} (∂a X^μ)(∂b X_μ)
に戻る。－∞≦τ≦∞、0≦σ＜ｌとする。
点粒子の場合と同様に適当なゲージ固定を探そう。
(1.3.8a) τ = x^{+}
(1.3.8b) ∂_σ γ_{σσ} = 0
(1.3.8c) det γ_{a b} = -1
Polyakov 作用の３つの局所対称性（σ、τ座標の選択と、Weylスケール変換）
に３つの条件を課した。
----この辺り？？----
f = γ_{σσ} /√(-γ) はτを固定するσのreparametrizationで
f' dσ' = f dσ と変換する。実際 (1.2.20) より
(∂σ'^c /∂σ^a) (∂σ'^d /∂σ^b) γ'_{c d}(τ'＠｀σ') = γ_{a b}(τ＠｀σ)
であるが、これを用いて
f = γ11 /√(-γ00γ11 +γ01γ10) dσ
= ...
----確かめ方がわからない----
不変長さを f dσ = dl と定義する。
(1.3.10)
γττ＠｀ γτσ
γτσ＠｀ γσσ
の逆行列が
-γσσ＠｀ γτσ
γτσ＠｀ γσσ^-1 (1 - γτσ^2)
になっていること。かけあわせてみる
0025PetaByte
NGNG-γτσ γσσ +γσσ γτσ＠｀ γτσ^2 +γσσ γσσ^-1 (1 - γτσ^2)
整理する
1＠｀ ＃
0＠｀ 1
＃は
＃ = γτσ γσσ^-1 (γττ γσσ + 1 - γτσ^2) = 0
(1.3.12)
x^{-}(τ) = (1/l) ∫[0→l] dσ X^{-}(τ＠｀σ)
Y^{-}(τ＠｀σ) = X^{-}(τ＠｀σ) - x^{-}(τ)
を導入し、(1.3.10)を用いて、(1.3.11)が得られること
γ^{a b} (∂a X^μ)(∂b X_μ)
= γ^{ττ} [- 2 (∂τX^+)(∂τX^-) + (∂τX^i)(∂τX^i)]
+ 2 γ^{τσ} [- (∂τX^+)(∂σX^-) - (∂τX^-)(∂σX^+) + (∂τX^i)(∂σX^i)]
+ γ^{σσ} [- 2 (∂σX^+)(∂σX^-) + (∂σX^i)(∂σX^i)]
←(逆行列の式、∂τX^+ = 1、∂σX^+ = 0)→
= - γσσ [- 2 (∂τX^-) + (∂τX^i)(∂τX^i)]
+ 2 γτσ [- (∂σX^-) + (∂τX^i)(∂σX^i)]
+ γσσ^-1 (1 - γτσ^2) (∂σX^i)(∂σX^i)
←(∂σX^- = ∂σY^-)→
= γσσ [2 (∂τX^-) - (∂τX^i)(∂τX^i)]
- 2 γτσ [(∂σY^-) - (∂τX^i)(∂σX^i)]
+ γσσ^-1 (1 - γτσ^2) (∂σX^i)(∂σX^i)
かくして(1.3.11)が得られる。
Y^- はdynamicalな変数でないので、∂σ(γτσ) = 0 の拘束を生む
Lagrange未定係数になる。∂σ(γτσ) = 0 は後に重要になる。
0026PetaByte
NGNG∂^σ = γ^{στ} ∂τ + γ^{σσ} ∂σ
= γτσ ∂τ - γττ ∂σ
から、(← γσσ^-1 (1 - γτσ^2) = γττ)
γτσ ∂τ X^μ - γττ ∂σ X^μ = 0 at σ=0＠｀l
と求まる。μ= + に対しては
γτσ = 0 at σ=0＠｀l
∂σ(γτσ)= 0 なので、いたるところで γτσ = 0
γτσ= 0 を(1.3.13)に用いて ∂σX^i = 0 at σ=0＠｀l
γτσ= 0と(1.3.12a)を用いれば、(1.3.11)から直ちに(1.3.16)が得られる。
L = - l/(2πα') γσσ (∂τx^{-})
+ 1/(4πα') ∫dσ (γσσ ∂τX^i ∂τX^i - γσσ^-1 ∂σX^i ∂σX^i)
x^{-} の正準共役運動量は
p_{-} = - p^{+} = ∂L /∂(∂τx^{-}) = - l/(2πα') γσσ
γσσ が定数を度外視して運動量であることに注意しよう。
X^i(τ＠｀σ) の正準共役運動量(密度)は、(添字 i の上下は気にする必要なし)
Π^i = δL /δ(∂τX^i) = 1/(2πα') γσσ ∂τX^i = p^{+}/l ∂τX^i
ハミルトニアンは、(γσσ = (p^{+}/l) 2πα' に注意して)
H = p_{-} ∂τx^{-} + ∫dσΠi∂τX^i - L
= ∫dσΠi∂τX^i - 1/(4πα') ∫dσ (γσσ ∂τX^i ∂τX^i - γσσ^-1 ∂σX^i ∂σX^i)
= l/(4πα'p^{+}) ∫dσ [4πα'Π^iΠ^i - 2πα'Π^iΠ^i + 1/(2πα') ∂σX^i ∂σX^i]
= l/(4πα'p^{+}) ∫dσ [2πα'Π^iΠ^i + 1/(2πα') ∂σX^i ∂σX^i]
となり、(1.3.19)が得られる。
0027PetaByte
NGNG保存量であることは、運動方程式から直ちにわかる。c = l/(2πα'p^{+}) として
∂τx^{-} = ∂H /∂p_{-} = H /p^{+}
∂τp^{+} = - ∂H /∂x^{-} = 0
∂τX^i = δH /δΠ^i = (l/p^{+})Π^i = 2πα'c Π^i
∂τΠ^i = -δH /δX^i = l/(p^{+}(2πα')^2) (∂σ^2 X^i) = c/(2πα') (∂σ^2 X^i)
後ろの２式より波動方程式が得られる。
∂τ^2 X^i = c^2 ∂σ^2 X^i
c = l/(2πα'p^{+}) で p^{+} は保存量なので、座標σの選ぶ際に、条件c = 1を課せば
弦の長さ l も保存することがわかる。
横方向の座標 X^i は自由な波動方程式を満たす。
実は X^{+} と X^{-} も自由な波動方程式をみたす。
境界条件 ∂σX^i = 0 at σ=0＠｀l を満たすフーリエ展開を考える。
全運動量を
p^i(τ) = ∫dσΠ^i(τ＠｀σ) = (p^{+}/l)∫dσ ∂τX^i(τ＠｀σ)
また
∂τ^2 X^i = c^2 ∂σ^2 X^i
の解は
exp(-πincτ/l) cos(πnσ/l)
と書けるので
X^i(τ＠｀σ)
= x^i + p^i/p^{+} τ
+ i√(2α') Σ[n∈Z＠｀n≠0] (αn^i/n) exp(-πincτ/l) cos(πnσ/l)
X^i が実であるために α_{-n}^i = (αn^i)† が必要である。
0028strminger
NGNGコメントは明日に。
実は理解できてないところちょっとあるんだよね。
明日書いてみます。
0029あげ
NGNGポルチンのExerciseに早速出てくるんですが。
0030s
NGNGどこに？ 直接的に使わないのでは？
D-braneについては彼のTASI読みましょう。
>24
ｆ/(\sqrt \gamma)=inv.
の証明は、reparametrizationにおいて、{\sigma}'が元の
{\tau}に依らなければ証明は簡単にできます。つまり、
$\frac{\partial \sigma'}{\partial \tau}=0$
の元で証明可。でも、これでいいのか？
というか、３本のゲージ固定条件置きましたよね。
これがどのようなゲージ固定なのかがいまいちわからないです。
確か、３本のゲージ固定条件に常に持っていけるみたいなことを
本で示してましたが、そこの所をもうちょっと議論したいです。
今日の夜でもまた書きます。
因みにちゃんとparameter のmetric \gammaの共益運動量が0になる拘束
をおいて、きちんと扱おうとしたのですが、ちょっと面倒。
もうちょっと時間かかります。
あと、Y^-がdynamical ではないので、云々っていう議論。
あれはちょっと理解できません。 Y^-にはdynamical な量
X^-が入っていますよね・・。やはり、ちゃんとformalize
しないとわからないのかな。
0031>24
NGNG1/√(-det γ)*det(∂σ'^a/∂σ^b)
={γ_{σσ}*∂σ/∂σ'*∂σ/∂σ'+γ_{ττ}*∂τ/∂σ'*∂τ/∂σ'
+2γ'_{στ}*∂σ/∂σ'*∂τ/∂σ'}*{∂σ'/∂σ dσ+∂σ'/∂τ dτ}
*1/√(-detγ)*(∂σ'/∂σ*∂τ'/∂τ-∂σ'/∂τ*∂τ'/∂σ)
=1/√(-detγ)*γ_{σσ} dσ
under
σ'=σ'(σ) <-- not σ'=σ'(τ＠｀σ)
τ'=τ
0032s
NGNGσ^1=σ
σ^0=τ
です。 31の書き込みで。
0033s
NGNGの質問の答えももうちょっと考える必要ありかも。
0034s
NGNGゲージ固定については、p18に色々コメントありましたね。
∫f dσで座標σを固定するゲージ固定条件ですよね。
ここではそれ以上つっこみません。
計算も上の感じでいいようです。
では、τの方は？
何故光円錐ゲージとかいう名前なんでしょうか。
今拘束系解いてる最中ですが、実は時間なくてなかなか
進んでません。 誰か解いてる人いないかなぁ。
Kakuさんの教科書で拘束解いてるの書いてあったような
気もする・・。嘘かも。調べます。
0035strminger
NGNG0036strminger
NGNG概念を使う「発散」と、同じものなの？
spinの所の議論など適当な所多し。 変なところあったら言ってください。
0037>35
NGNG0038弦に興味ある人ってあまりいてないの？
NGNGまず、今やってるのは弦の理論について考えています・・。26次元
空間を与えられたPolykovの Lagrangianによって時間発展してる、弦です。
その座標はX(τ、σ）によって表される。
解はσ、τに関して振動している解が得られ、そのフーリエ成分は生成
消滅演算子の交換関係を満たす、if 量子化した場合。
（・・・弦の座標とその正準運動量に正準交換関係を課すことは・・
物理的にいいんですよね・・）
すると、その表現は調和振動子でやったのと全く同様に、a†を真空に
掛けることによって得られる。つまり、弦を量子化すると調和振動子的
状態空間が得られます。
Polyakov actionの持っている対称性は、時空に関する対称性のみです。
（Weyl＠｀diff.＠｀Lorentz) 従って、状態空間の持つ量子数は常に時空対称性
と密接な関わりがある。 例えば、数演算子a†a の固有値Nなんかは、
弦のmassを４元運動量ベクトルの内積と定義すると、（1.3.36)の様な
関係式を得たりする。さらに、spinは 26次元Lorentz対称性を系が
持つことから、ある固定されたベクトルに関して不変に変換するLittle
groupと呼ばれる群（例えばmasslessではSO(25))の変換性の議論から、
実はtransverse 方向のindex i によってspin量子数 jが定まります。
議論を複雑にしているのは、Gauge固定条件に伴う拘束条件の取り扱い
だけだと思います。
0039名無しさん
NGNGはやくbraneに逝きたい。
0040>37
NGNGfermionic stringに入ったら、fermion量子数とかも出てくる。
（spin 1/2とか）
0041３８
NGNG３８の書き込みで、
「masslessの場合ではlittle group はSO(24)」ですぅ。
SO(25)じゃない。
0042PetaByte
NGNG0043>PetaByte
NGNG大丈夫、大丈夫。
0044strminger
NGNGだから、できればPetaByteさんの発表を
今週の木曜日にしていただけると（つまり
一週ずらす。）嬉しいんだけど。
0045strminger
NGNG３月いっぱい忙しく、ゼミの準備など到底できない
状況に追いやられました。自分は素粒子論の専攻ではない
ので、準備するためにはとても時間がかかってしまうのです。
すみませんが、自分抜きでか、（ということは、Petaさま一人・・？）
それか３月いっぱいおやすみにしていただきたく思うのですが・・。
もしPetaさんがおひとりでもゼミなさるのなら、それについては
時々コメント見させていただきますし、そこの所の勉強も
ちゃんとしておきますが。
コメント、批判等受けます。ごめんなさい～！！
(T-T)
0046PetaByte
NGNGstrmingerさんが戻ってくるまでは、長文レポート型
ではなくて、形式を少し変えてやってみましょう。
0047s
NGNG0048s
NGNG0049a
NGNG0050s
NGNG誰もみてないだろうし。
stringに興味ある人、手あげてみ。
string等の質問はここでやっておくれ。
0051名無しさん
NGNG0052s
NGNG論文でも解説、っていうか読んでってこと？
0053名無しさん
NGNG興味はありますけど、質問できるほど知識がまだ足りないです。
悲しいよ～。
0054名無しさん
NGNG1＋2＋3＋…＝－1/12 ってどうやって導くんですか？
ゼータの積分表示の導き方から厳密にやってほしい。
0055s
NGNGやっぱり、一緒にやろうよ、じゃなくって、
やってほしい、になるわけですな。
それは、仕方ないか。
0056p
NGNG0057名無しさん
NGNG0058名無しさん
NGNG0059名無しさん
NGNG続きは？？？
0060名無しさん
NGNG0061>60
NGNG確かに君の言うとおり。
ブレーンとかしたい。 もう少し待って。
それか先に始めてて。
場の理論でもいいよね。 もう、だいぶ古いけど、
N=2の超対称性理論の双対性とか。
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