◆ゼミ用ノート---2003.4.7(3)

>>90の続き

【多様体(manifold)】：
　　・R^nのopen subsetの切れ端から成る
　　・それらの切れ端は「なめらかに」縫い合わされている

↓正確な定義

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【 n-dimensional, C^∞,　real manifold M 】：
部分集合｛O_a｝を伴う集合で．．．
（１）p∈Mは、いずれかのO_aに属する
　　（｛O_a｝はM全体を覆い尽くす）
（２）各aについて、上への1-1写像Ψ_a: O_a→U_aが存在する
　　ただしU_aはR^nの部分開集合である
　　（局所的にR^nに似ている）
（３）O_a、O_bがあって、O_a∩O_b≠φならばΨ_b・Ψ_a^{-1}という
　　写像をつくることができる。ただし
　　・Ψ_a[O_a、O_b]、Ψ_b[O_a、O_b]はopen （←位相空間の定義と上記（２）から自明）
　　・Ψ_b・Ψ_a^{-1}はC^∞（すきなだけ微分可能）　（←より正確にはC^wつまり「解析的」）
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補足：
・Ψ_a・・・（数）chart、（物理）coordinate system
・Mの定義について：　（２）（３）を満たすchartを「全て」持たせる（座標変換しても同じ多様体）
　　　　　　　　　　　　　　→多様体（cover｛O_a｝、chart｛Ψ_a｝）は「maximal」と呼ばれる
・C^kmanifold（またはanalytic manifold）・・・（３）を変更（物理では全部C^∞でよい）
・complex manifold・・・R^n→C^n