>>67
＞よく読んでくださいね。
ゴメン。

>>68
＞v=v^a∇_a　の意味ですが、v^a これの a はベクトルの成分で、
＞∇_a の a はベクトルそのものの添字ですよね。
いや、abstract indexを使った場合には、v^aは成分ではなくてベクトルでしょう。
ややこしいですが、
　　v=(v^μ)(∂/∂x^μ) ^a　と　v(f)=v^a∇_a f
は区別すべきでしょう。∂/∂x^μという表現が誤解を招くなら、
　　(∂/∂x^μ)^a=X_μ^a　（aはabstract index、μは成分orベクトルの名前)
とおいて、
　　v^a=v^μ X_μ^a　
と書いた方が安全かもしれません。

ムムリク君の誤解(?)も
　　「v(f)=v^a∇_a f　だから　v=v^a∇_a　である」
と考えた点にあると思っているのですが、どうでしょう。

>>65
＞ひとつのものが、全く違うもの（関数、一形式）を、おなじく実数に
＞写像するというのはおかしいのではないでしょうか？
写像のさせ方が違うのでかまわないのではないでしょうか。ベクトルは関数を実数
に写像しますが、ベクトルによって実数に写像されるならばそれは関数である、と
はいえないと思います。