>>62 >>63
＞v(f)にあたるものをabstract index notationでどうやって表すのか、
v(f)=v^a∇_a f=(v^μ)(∂f/∂x^μ)　です。ムムリク君の言うような、
v(f)=v^a∇_a　ではありません。

＞v^a ∇_aというものの二つが存在するという錯覚が生まれます。
これは、錯覚ではなくて２つ存在するでしょう。
　　v^a=(v^μ)(∂/∂x^μ)^a　　　　　　　・・・ベクトル
　　∇_a f = (∂f/∂x^μ)_a (dx^μ)^a　　・・・1-form
ここで、(∂/∂x^μ)^aがベクトル、(dx^μ)^aが1-form、v^μ、∂f/∂x^μ
は単なる数（成分）。

いずれにしても、ベクトルを定義しようとしているときに、この先に出てくる
共変微分を持ち出すのはマズイでしょう。

＞方向微分＝接ベクトルは、（０，０）の「スカラー量」でよいのでは
＞ないでしょうか
スカラーはないでしょう。ベクトルでしょう。

＞v→(v^μ)(∂/∂x^μ) ^a
＞とすると、これは微分として関数に作用できませんし、
＞数に写像することもできませんよ
上に書いたように、
　　v(f)=(v^μ)(∂/∂x^μ)^a(f)=(v^μ)(∂f/∂x^μ)
です。v^a(f)という書き方では、ベクトルのようで気持ち悪いと感じるのでしょう
が、abstract index notationとv( )という表記を無理に共存させたためです。
共変微分を導入した後では、
　　v(f)=(v^μ)(∂f/∂x^μ)=v^a∇_a f
とスッキリとした表記ができます。

今日は帰ります。では、また。