>>60
「v=v^a∇_a」が、ちょっと先を読んで持ってきた式なので議論がしにくいかもしれません
これは、31ページの微分演算子∇_aの性質４のところの式です
すいません

31ページの「t」を「v」に読みかえればいいので
方向微分＝接ベクトルは、（０，０）の「スカラー量」でよいのではないでしょうか


定義された写像としての働きが異なることについてもいかがでしょう？
　　v→(v^μ)(∂/∂x^μ) ^a
とすると、これは微分として関数に作用できませんし、数に写像することもできませんよ