>>58
＞v=v^a∇_aと分割（共変微分の定義でもある）
aをabstract indexと考えたら、上の式はスカラーになってしまいます。
ここでは
　　v=(v^μ)(∂/∂x^μ)
でしょう。v^μはベクトルの成分で、∂/∂x^μは基底ベクトルです。μは
abstract indexではありません。あえて書けば、(∂/∂x^μ)^aとでもなるでしょう。