携帯のカメラで撮ってPCに送ってアップしてます。
1)2)はokです

方向微分の定義
多様体M上の滑らかな曲線C:R→Mを考え、C(t=0)=p∈Mとする。
いま点pでの近傍で定義された関数f:M→Rに対して
f(C(t))の(t=0での)微分を考える。すなわち
T(C)=df(C(t))/dt=(dx^μ/dt)(∂f/∂x^μ)
この対応T:f→df(C(t))/dtの事を点pにおけるC方向への方向微分と呼ぶ。

ツッコミお願いします。

>>>574　は別の突っ込みどこがあるんで（∇_aθはベクトルじゃないとか）後回しね。
まじですか〜orz