>>54
ちょっと勘違いをなさっているように思えるのですが。。。
＞f を関数だとして v(f) には縮約すべき添え字がありません
v(f)はベクトルでなくて実数です。fを入れる前のv( )がベクトルです。
∂/∂x^μのμは添え字ではなくて、ベクトルの名前です。たとえば、
「４つのベクトルe1, e2, e3, e4」といったときの1〜4と同じです。

接ベクトルとベクトルを区別するのはおかしいと思います。
ベクトルを定義するために、接空間のややこしい話をしているのでは
ないでしょうか。