>に対してw(Rv)という数を返す　対応（写像）をテンソルというのでは？

vector二つから数を返す関数、ベクトルを入れてベクトルを返す変換、状況に合わせて
便利なほうの見方を選ぶ。数学的には同値だから。

>二番目にその性質から関数に対する線形性D[f(p)V(p)]=f(p) D[V(p)]を証明し

ここでのDがさすものは？