その後、自宅サーバーでも同じことをやってみましたが、SSL なしの環境でも
同じ現象が発生することが分かりました。となると、ブラウザに問題があるとしか
言いようがありませんね。
もしやと思って、そこらへんのアップローダーでも試してみましたが、やはり
アップロードできませんでした。対処法は分からずじまいのままですが、
あきらめムードにはいっております。

アドバイスをいただいた方々にお礼申し上げます。