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署名集めについて
地方自治法上の直接請求署名について、簡単に説明させていただきます。
まず、始める時は「請求代表者」が選管に届け出るわけです。
この請求代表者は、通常は複数で、特に人数に制限はありません。
ただし、過去に、請求代表者の署名がニセモノだったために、
署名全てが無効になった例がありますから、身元の確認は必要でしょう。
（言うまでもなく、請求代表者は、鳥取県在住の有権者でなければいけません。）
この請求代表者と、請求代表者から委任状を発行してもらった「受任者」のみが、
署名を集めることができます。（もちろん、受任者も鳥取県の有権者でないといけません。）
請求代表者は、県内のどの有権者からも署名を集めることができますが、
受任者は、自分と同じ市町村の人からしか、署名を集めることはできません。
（なお、請求代表者が集める署名も、市町村ごとに別々の署名簿に分かれていないといけません。）
請求代表者は、署名期間の途中で、いつでも受任者を増やすことができますが、
受任者は委任状を貰う以前に署名活動をしてはいけません。

最後に、署名期間について重要な問題を述べておきます。
期間は２ヶ月ですが、選挙期間（任期満了６０日前から投票日まで）は、署名は禁止です。
禁止期間に署名を集めた場合には、罰則があります。
ただし、選挙期間は市町村ごとに違うので、署名活動中に選挙がある市町村では、
その中断期間の分だけ、署名期間が延長されます。
つまり、市町村により署名していい時期、いけない時期が違いますので、
この点は請求代表者が受任者によく注意する必要があると思います。

地方自治法施行令の第２編第２条　９１条から１２１条あたりをご覧ください。
http://www.houko.com/00/02/S22/016.HTM