誰も責任持ってくれない業務に使えないサーバがネットワークにつながってる事が
問題ではないのか？　そのサーバなりアプリが絶対安全である保証はないでしょ？
経験を積みたいのもわかるが、いざトラぶった時には「勝手にサーバ作って客先でトラぶった奴」
となり、もう二度と仕事が来なくなるような気がするがそうでもないのか？

現時点で運用の仕事しかないなら運用をがんばるしかない。　トラブル対応もしなきゃいけない
運用現場ならそこで実績を積んで信頼を勝ち得て、希望が言える立場までなるしかないでしょう。
もっともそこまでして構築にこだわる理由が俺にはわからないけどね。　そもそも構築したことないんでしょ。

いずれにせよ、契約外の仕事をするというのは経験者にとっても迷惑だし、未経験者にも
リスクのある行為であると俺は思う。　経験も浅いのに「社会人失格」の烙印押されたら
もうすべての可能性が消えてなくなると思うがね。