新しいIPだと前の部分全部コピーして、動作完全だと思ったら切り替える。
DNSはNSを変えて、whoisやnameserver登録をかえてから
１週間ぐらい新旧両方うごかすのが良い。
最初はTTLは短めにする方が安全。

webとか他のサービスも移行するなら同時にはやらないで完全に安定してから行なう。

$dig @xxx.xxx.xxx.xxx google.com
と新DNSのIPをいれてdigするとエラーになります、、、

の部分はテストのし方やNAPTの有り無しなどで変わるからそれだけで良いか悪いか
こっちからじゃ判断は無理。この程度は自分で解決しておかないとこの先きびしい。
外向けと内むけでは動作は違うのは普通のこと。

named.conf はコピーしたのかな。
bindはchroot の有無でファイルの位置が変わるから前と必ずしも同じ場所では無いよ。