トップページ⇒math
30コメント9KB

見かけは簡単なのになかなかとけない問題

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001名無しさんNGNG
△ABCでAB=AC＠｀BC=BE＠｀AD=CDとなるようにＤとEをとる．
∠A=20°でDがAB上，EがAC上にあるとき，∠CDE＠｀∠BEDを求めよ．

0002名無しさんNGNG
どこがどうナニなのかがわからない
∠A＝∠CDE＝∠BED
0003名無しさんNGNG
（B≠DかつC≠E）って条件が足りないのでは？(=^_^=)
0004名無しさんNGNG
５°と思ったけど、計算して見たら違った。
なら、６°かな？
0005名無しさんNGNG
∠CDE = およそ 5.63°
∠BED = およそ 74.37°

0006名無しさんNGNG
∠CDE = 70°-Arctan[{4(cos20°)^2-3cos20°}/sin20°]
∠BED = 80°-∠CDE
0007数学受験なのにNGNG
∠CDE＋∠BED＝80°というところまでしかわからなかった。
0008１ですNGNG
出題文の構成がおかしいよ
　△ABC(∠BAC=20°＠｀AB=AC)で
　AB上のDがAD=CD＠｀AC上のEがBC=BEとなるとき
　∠CDE＠｀∠BEDを求めよ．
って書くんだよ
出題文も答えも汚い
0009>8NGNG
1の出題意図は十分伝わってると思うけど。

きれいな答えが出そうな「見かけ」に反して
なかなか解けなかったしネタとして楽しめたよ。

∠A＝2θ（0＜θ＜30°かな）、AB＝2とでもして
きれいな答えが出るθを探すのも一興。
ちょっとやってみた感じでは無さそうだった。
0010名無しさんNGNG
「二等辺三角形ＡＢＣで∠Ａ＝２０°
∠Ｂ＝∠Ｃとする。
ＡＢ，ＡＣ上にそれぞれＤ，Ｅを∠ＥＢＣ＝６０°、∠ＤＣＢ＝５０°
とした時に∠ＢＥＤを求めよ。」
と言う問題なら解いたことはあるぞ。
簡単だけど。
0011>10NGNG
簡単と言うほど簡単じゃないよ。その問題
0012>10NGNG
かなりの難問だった記憶があるけど・・・
いまやっても解法がわからなかった。
誰かわかりませんか?
0013>12NGNG
http://www.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=951502907
http://www.mitene.or.jp/~tomo-s/langley/langley10.html
001412NGNG
有名な問題だったのですね。
ありがとうございました。
0015名無しさんNGNG
10の問題をわざわざ三角関数引っ張りだしてやってみた＜ドキュソ

∠BED＝Xとすると
(tanX)^2＝(sin20°)^2/{-cos20°+(2tan30°)/(tan10°+tan30°)}^2

計算機では右辺＝1/3となり
tanX＝1/(√3)からX＝∠BED＝30°


(sin20°)^2/{-cos20°+(2tan30°)/(tan10°+tan30°)}^2＝1/3
この等式を証明してくれる頭脳明晰かつ暇な人募集(^^;
0016>15NGNG
tan10°=tan(30°-20°) を使ってちょっと計算すると
sin20°/{-cos20°+2tan30°/(tan10°+tan30°)}＝1/√3 は
2cos20°sin20°+√3(cos20°)^2-√3(sin20°)^2-√3cos20°-sin20°=0
と同値。で、左辺
=sin40°+√3con40°-(sin20°+√3cos20°)
=2sin(40°+60°)-2sin(20°+60°)=0.

とりあえずこんなもんでいかがでしょう?
0017>16NGNG
おお！ありがとうございます！

>sin20°/{-cos20°+2tan30°/(tan10°+tan30°)}＝1/√3 は
>2cos20°sin20°+√3(cos20°)^2-√3(sin20°)^2-√3cos20°-sin20°=0
>と同値。

sinの合成等、15の流れで十二分に理解出来ました。感謝！

さてsin20°/{-cos20°+2tan30°/(tan10°+tan30°)}＝【？】
からスタートしても【？】＝1/√3が導きだせるものでしょうか？(^^;

>tan10°=tan(30°-20°)

これがミソのようですね。
15さんのを参考に自分でも考えてみます。
0018名無しさんNGNG
ageとくか
0019名無しさんNGNG
0020出題NGNG
３桁の数字で、各桁の二乗の和のちょうど11倍であるものを全て求めて欲しい。
要するに
100a＋10b＋c＝11*(a^2＋b^2＋c^2）
を満たす1桁の数の組（a＠｀b＠｀c）を求める。(ただしa≠0）
0021trNGNG
100a＋10b＋c＝11*(a^2＋b^2＋c^2） …(*)
----------------------------------
求める3桁の数は 11の倍数なので、
　　a + c - b = 11k (k は整数) ……(1)
各位の2乗の和を 11倍して 3桁に収まるから、
　　a^2 + b^2 + c^2 ≦ 90 …………(2)
以上 2つが必要条件として挙がる。
ここで、(1) の k に入り得るのは 1＠｀ 0 である。

(1) を k =1 で満たし、かつ (2) を満たす組
　　(a or c＠｀ a or c＠｀ b) = (7＠｀ 6＠｀ 2)＠｀ (8＠｀ 4＠｀ 1)＠｀ (8＠｀ 3＠｀ 0)
　　　　　　　　　　　　　　(7＠｀ 5＠｀ 1)＠｀ (7＠｀ 4＠｀ 0)＠｀ (6＠｀ 6＠｀ 1)＠｀ (6＠｀ 5＠｀ 0)
(1) を k = 0 で満たし、かつ (2) を満たす組
　　　　--- 略 ---
これらのうち (*) を満たすものを調べると 803。

# 雑に解いたので抜けがあるかも(汗)
0022出題人NGNG
＞(1) を k = 0 で満たし、かつ (2) を満たす組
＞　　　　--- 略 ---

なぜ略したの？
0023trNGNG
組が多いから書くのが面倒だなぁ.. と。(爆)＜略
で、やはり抜けてたんですね。

(1) を k = 0 で満たし、かつ (2) を満たす組
　　(6＠｀ 1＠｀ 7)＠｀ (5＠｀ 2＠｀ 7)＠｀ (4＠｀ 3＠｀ 7)＠｀ (6＠｀ 0＠｀ 6)＠｀ (5＠｀ 1＠｀ 6)＠｀ (4＠｀ 2＠｀ 6)＠｀ (3＠｀ 3＠｀ 6)＠｀
　　(5＠｀ 0＠｀ 5)＠｀ (4＠｀ 1＠｀ 5)＠｀ (3＠｀ 2＠｀ 5)＠｀ (4＠｀ 0＠｀ 4)＠｀ (3＠｀ 1＠｀ 4)＠｀ (2＠｀ 2＠｀ 4)＠｀ (3＠｀ 0＠｀ 3)＠｀ (2＠｀ 1＠｀ 3)

ということで 505 追加。
0024名無しさんNGNG
じゃなくて、550 追加。(汗)
0025出題人＞tr様NGNG
あわわわ・・・面倒なことさせちゃいましたね。
出題の意図は「いかに条件を絞り込むか」のつもりでした。
僕は
＞(1) を k =1 で満たし、かつ (2) を満たす組
を５パターン以下ぐらいに絞り込めないか考えたんですが
全然出来なかったんです。
（７パターンにすら絞れなかった。trさんすごい！）

＞(1) を k = 0 で満たし、かつ (2) を満たす組
の方は３パターンに絞れたんです。

100a＋10b＋c＝11*(a^2＋b^2＋c^2） …(*)
99a＋11b＋a−b＋c＝11*(a^2＋b^2＋c^2）
a−b＋c＝0より
99a＋11b＝11*(a^2＋b^2＋c^2）
両辺を11で割る
9a＋b＝a^2＋b^2＋c^2
b＝a＋cを代入して整理
2a(5-a-c)=c(2c−1)
∴5-a-c≧0　∴cは２の倍数
cは0、2、4のいずれかである。　　
0026trNGNG
　　a + c - b = 11k (k = 1 or 0) …(1)
　　(10≦) a^2 + b^2 + c^2 ≦ 90 …(2)
この必要条件から更なる条件を導いて絞り込むより、
すべて書き出した方が手っ取り早そうだなぁ..
と、根性路線で解きました。(解答時間を重視してしまった！)

# エレガント路線も考えてはみたのですが
# あえなく撃沈コースでした(笑)

> 99a＋11b＋a−b＋c
こういう巧みな変形をしてこそ、整数問題ですね。^^
アリガトウございました。
0027パスタNGNG
２＾ｘ＝ｘ＾２　ってグラフ書くと解が３つあるはずなんですが、
負の解をどうやって出せばいいのかわかりません。式自体は単純
なのに・・・誰か一緒に考えて下さい。
0028電卓計算NGNG
＞２７
初期値　Ｘ＝０　として、
１．Ｙ＝２＾Ｘ
２．Ｘ＝−ｓｑｒｔ（Ｙ）

１，２の繰り返しで、
Ｘ＝−０．７６６６６４６９６
Ｙ＝　０．５８７７７４７５６

と収束しましたが、どう？
0029パスタNGNG
電卓計算さんどうもありがとうございます。
ｘは−１＜ｘ＜−０．５の範囲だろうととは
グラフを書いたときにかんじていました。
筆算で理論値は出せないのでしょうか？
解答の方向性だけでも何かあればアドバイス下さい。
0030名無しさんNGNG
凸四角形ＡＢＣＤに対して，
∠ＡＢＤ＝ｐ，∠ＣＢＤ＝ｑ，∠ＡＣＢ＝ｒ，∠ＡＣＤ＝ｓ
のとき∠ＡＤＢを求めよ．

…ていう問題は時々見かけるんだけど，ｐ，ｑ，ｒ，ｓが
どんな値でもこの問題は“初等的”に解けるんだろうか？

昔からなんとなく気になってることです．
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています