>>208
＞１．まず、何を証明したいのか？　自分で命題を書くこと！
「"∀n∈N,P(n)が真⇒P(∞)は真" は偽である」

＞２．数学的帰納法の部分は、もっと簡素で結構だ。但し、次の反例と関連が付くように、どういう定理を使うとか、ロジックを明確にしてほしい。
＞（例えば、私は、>>27で山田光太郎先生の命題10.5 ”(3) 開集合U1, U2 に対してU1 ∩ U2 は開集合である．”と使った。同じで間に合うなら、そう書いてくれ）
＞３．「反例が存在する」というなら、自分で反例を具体的に構成して存在を証明してください。他人が指摘したとか逃げないで
Rを通常の位相が入った位相空間としよう
U_n:=(-1/n,1/n)としよう(こいつは開集合です！)
P(n):∩_[1≦k≦n] U_kが開集合 としよう

U_1∩U_2は(3)から開集合です
V:=U_1∩U_2∩…∩U_nが開集合とすると、V∩U_n+1は(3)から開集合です
したがって数学的帰納法により、∀n∈N,∩_[1≦k≦n] U_kが開集合になりました

ところで、無限個の共通部分∩U_n={0}でこれは開集合ではありません

ドゥラメンテは大丈夫でしょうか…