R は実数体とする。
R^n の閉集合全体から成る集合を F(R^n) とする。
R^n の開集合全体から成る集合を O(R^n) とする。
A⊂R^n に対し、B=A∩F、F∈F(R^n) の形の集合全体から成る集合を F(A) とする。
A⊂R^n に対し、B=A∩O、O∈O(R^n) の形の集合全体から成る集合を O(A) とする。
B∈F(A) ⇔ {x∈A|x∈/B}∈O(A) であることを示せ。

という問題があるのですが、間違いではないでしょうか？
n=1、A=[-1,1]、B=[0,∞) が反例。
{x∈A|x∈/B}=[-1,0)=A∩(-∞,0)、(-∞,0)∈O(R) より {x∈A|x∈/B}∈O(A)
一方、∀F∈F(R) に対し、A∩F⊂A であるが、B⊂/A であるから、B≠A∩F すなわち B∈/F(A)
ゆえに、{x∈A|x∈/B}∈O(A) ⇒ B∈F(A) は偽。