>>653
ガンマ関数は高校範囲を超えるが、どうしても計算したければ次を頭ごなしに認めること。
1)ガンマ関数は階乗関数を一般化したもので、Γ(n+1) = n!。ただしnは整数以外も許す。
これから、Γ(n+1) = n! = n・(n-1)! = nΓ(n)などの性質をもつ。
2)ガンマ関数は積分により、Γ(n) = ∫x^(n-1)e^(-x)dx と定義できる。積分範囲は [0,∞)
自由度 kのカイ2乗分布 f(x,k) = (1/(2^(k/2) Γ(k/2))) x^(k/2-1)e^(-x/2) だが、
このような係数をもつのは、∫ x^(k/2-1)e^(-x/2)dx = 2^(k/2) Γ(k/2) ということ。
これはガンマ関数の定義式からも導ける。
カイ2乗分布の期待値 E = ∫xf(x)dx = ∫x x^(k/2-1)e^(x/2)dx = ∫x^(k/2)e^(-x/2)dx だが、
例の係数の計算から、この積分は 2^(k/2+1)Γ(k/2+1) に等しいことがわかる。
Γ(k/2+1) = (k/2)Γ(k/2)なので、ここに係数をかけて、E = k。これが求める期待値。