>>168
文字の使い方が一派的でないので、わかりにくいだけではないか?
ふつうの文字づかいにより書き直してみた。a1, a2などは
見にくいので、 a(1), a(2) と書いた。

命題
自然数の nについて、(a(1)+a(2)+…+a(n))^2＝a(1)^3 + a(2)^3 +…+ a(n)^3 …(1)
を満たす a(1), a(2), …, a(n) （ただし a(μ)>0 1≦μ≦n) は、a(μ) = μ である。

証明（数学的帰納法による)

1) n = 1のとき、a(1)^2 = a(1)^3 は、a(1) = 0 または a(1) = 1であるが、
条件a(μ)>0 より a(1) = 1　に限る。こうすれば、(1)は満たされる。

2) n = kのとき、a(μ) = μ (ただし1≦μ≦k)で(1)が成立していると仮定する。

3) n = k+1のとき、(a(1)+a(2)+…+a(k)+a(k+1))^2
　= (a(1)+a(2)+…+a(k))^2 + 2a(k+1)(a(1)+a(2)+…+a(k)) + a(k+1)^2
だが、仮定2) によりこの第一項は a(1)^3+a(2)^3+…+a(k)^3 に等しく、
よって右辺 a(1)^3+a(2)^3+…+a(k)^3+a(k+1)^3と比べたとき、
a(k+1)^3-a(k+1)^2-2a(k+1)(a(1)+a(2)+…+a(k)) = 0.
a(1)+a(2)+…+a(k) は仮定2)より1からkまでの総和 (1/2)k(k+1)なので、
a(k+1)としてはそれを未知数 xとした方程式 x^3-x^2-k(k+1)x = 0を
解けばよい。解くと、x=0または x=（１±√(1+4n^2+4n))/2 = (1±(2k+1))/2
このうち x>0 となるのは x = (1+(2k+1))/2 = k+1。よってn = k+1の場合も、
命題は成立した。

よって、この命題は、数学的帰納法によりすべての自然数ｎについて成立する。