調べた。>>507 に引用された母関数は少し違う。
G(t,x)=(-t)^k/(1-t)^(k+1) e^(-xt/1-t) なんだろう。
そして、積分は∫ G(t,x)G(s,x)x^(k+1) e^(-x)dx なのかな。
こっちでやると、(st)^k (k+2)!((1+st -(s+t))/(1-st)^(k+2)
が得られる。