ベルンシュタインの定理について質問です。

http://iup.2ch-library.com/i/i1622106-1459167036.jpg
http://iup.2ch-library.com/i/i1622105-1459167036.jpg

添付の画像、定理4.2.1から始まります。
証明の(1)、集合を分割する作業までは分かったのですが、
(2)で何を示したいかということ、(3)でなぜ偶奇で分けているのか
ということ(偶数のときも写像fを使うのでは駄目なのか？)と、
x∊X^∞とはどのような場合なのか、なぜ場合分けが必要なのか分かりません。

理解が浅いため質問も漠然としたものになってしまっていますが、
ご親切な方よければ教えてください。