以前、なぜ1じゃなく、1/√2になるのか、要点をアップしたのだが、
それでも分かっていない人がいたので、もう少し詳しくした原稿を作った。
だが、出すまでもないと思って、そのままにしたものを、アップしておく

接線と、y=x^2の交点を(α,α^2)、接線とy=x^2+1の交点を、ε>0を用いて、
(α-ε,(α-ε)^2+1)と表すと、二点間の距離Lは
L = √(ε^2　+　(1-2αε+ε^2)^2)　・・・・・・　(☆)
となる。αが定量ならば、ε→0 で L→1となるが、αε=β　がオーダー　1　の大きさを持つと、
L→1-2β　(αε=βを維持しつつ、ε→0)　と別の値になる。

実際、元の問題での交点は　(-a+√(2a^2),(-a+√(2a^2))^2)　と　(-a+√(2a^2-1),1+(-a+√(2a^2-1))^2)　だから、
αに当たる量は、(√2-1)a
εに当たる量は、√(2a^2) - √(2a^2-1)　=　1/(√(2a^2) + √(2a^2-1))　≒　1/√(8a^2)
なので、αεはオーダー1の大きさがあり、1-2β=1-2(√2-1)/(2√2)=1/√2　となる。

(☆)の式が示すように、εがゼロに近づく、つまり、接線がどんどん垂直に近づくとき、
交点のx座標αがεと無関係なら二点間の距離は1に近づくが、実際は、αが1/ε　程度で大きく
なるので（＝εが1/αに比例する成分を持つという方が理解しやすいかも）、1-2αε　に近づく