11^13 mod(1000)の計算法、mod計算をいろいろ使って、下のようにする方法がある。

11^13を8で割った余りpと、125で割った余りqを次のように計算する。

11^2≡1 (mod8)だ。よって、11^13 = 11×(11^2)^4 ≡11×1 ≡ 3 (mod 8)。p = 3とする。
11^2 = 121 = 125-4 ≡ -4 (mod 125) だ。よって、11^4 ≡ (-4)^2 = 16 (mod 125)。
11^8 ≡ 16^2 = 256 = 125×2 + 6 ≡ 6 (mod 125)。
11^13 = 11×11^4×11^8 ≡ 11×16×6≡56 (mod 125)。q = 56とする。

pを 8の倍数のうち、125で割ると 1余るものをxとする。 x = 376 (簡単にはみつからないね）。
qを 125の倍数のうち、8で割ると 1余るものをyとする。 y = 625 (これは比較的簡単)。

qx + py を計算する。qx + py = 56×376 + 3×625 = 22931。
この下3桁をとり、11^13 ≡ 931 (mod 1000)。