面倒くさく示すなら
ax^2+bx+cを(x-3)^2で割ったときの商をR(x)、余りをtx+uとおくと
P(x)=(x-1)(x-3)^2Q(x)+(x-3)^2R(x)+dx+c=(x-3)^2((x-1)Q(x)+R(x))+tx+uとなるから
P(x)を(x-3)^2で割った余りもtx+u