この問題に限らず、出題者の興味は大概
導出課程のほうにあるんだがなあ。
この問題は、
最小値が存在することを言わないと
唯一の極小値が最小値だとは言えない
という、類型的なルアーなんだと思うよ。
かかったの？かからなかったの？