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www4.pf-x.net/~arataka/ode/node13.html
を見ました。
P_jが射影行列ならP_j^2=P_j, P_jP_i=0 if i≠j は射影行列の定義から当たり前ですね。

ジョルダン分解
Σ_{j=1..k}(A-λ_jI)P_j+Σ_{j=1..k}λ_jP_j
=AΣ_{j=1..k}P_j

スペクトル分解
Σ_{j=1..k}P_j=I
A=Σ_{j=1..k}λ_jP_j

ではΣ_{j=1..k}P_j=Iな行列P_jが存在すると書いてあったりするのですが,
その時はP_jは射影行列とは限らないのですね?

Σ_{j=1..k}P_j=IだけからP_j^2=P_j, P_jP_i=0 if i≠jは示せないですよね?