グラスマン積についての質問です。

e_1,e_2,e_3∈C^3はC^3の標準基底とする時,

0≠∀v∈C^3∧C^3に対して∃k_1,k_2,k_3∈C;v=k_1e_1∧e_2+k_2e_1∧e_3+k_3e_2∧e_3と書けますが,
もしk_1≠0なら
k_1 e_1Λe_2 + k_2 e_1Λe_3 + k_3 e_2Λe_3
= (e_1 - (k_3/k_1) e_3)Λ(k_1 e_2 + k_2 e_3)
という風にv=hw_1∧w_2, h∈C (w_1,w_2∈C^3)の形にできます。

これをn=4の場合で考えてます。

e_1,e_2,e_3,e_4∈C^4はC^4の標準基底とする時,

0≠∀v∈C^4∧C^4∧C^4に対して∃k_1,k_2,k_3,k_4∈C;v=k_1e_1∧e_2∧e_3+k_2e_1∧e_2∧e_4+k_3e_1∧e_3∧e_4+k_4e_2∧e_3∧e_4と書けますが,
この時,どうすれば
v=h_1w_1∧w_2∧w_3若しくはv=h_1w_1∧w_2∧w_3+h_2w_4∧w_5∧w_6 (h_1∈C,w_1,w_2,w_3∈C^3).
の形に変形できますでしょうか?