問題じゃないけど教えてください。

距離空間における開集合の定義で、
集合内の任意の点でその集合に含まれる開球が存在する、
といったときの開球は閉球では駄目なんでしょうか？

定義の開球を閉球に変えても同値と思いますけど、
閉球で定義している教科書が見当たらないので、
なぜなんだろうと気になってます。