線積分は高校数学の範囲外ですが、聞きたいのは積分計算のテクですのでここで質問させて下さい。
x = a*cos(t) dx = -a*sin(t) dt.
y = a*sin(t) dy = a*cos(t) dt.
z = a(1-cos(t)) dz = a*sin(t) dt.
　　↑A = (A1, A2, A3) = (a^2x, ayz, xz^2)
　　　　= (a^3*cos(t), a^3*sin(t)(1 - cos(t)), a^3*cos(t)(1 - cos(t))^2

　内積 ↑A･d↑r を求める。
　　A1*dx = -a^3*cos(t)a*sin(t) dt = -a^4*sin(t)cos(t) dt.

　　A2*dy = a^3*sin(t)(1 - cos(t))a*cos(t) dt
　　　　　= a^4*sin(t)cos(t)(1 - cos(t)) dt

　　A3*dz = a^3*cos(t)(1 - cos(t))^2*a*sin(t) dt
　　　　　= a^4*sin(t)cos(t)(1 - cos(t))^2 dt
　　　　　= a^4*sin(t)cos(t)(1 - 2cos(t) + cos^2(t)) dt

　　A1*dx + A2*dy + A3*dz
= a^4[( - sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t)(1 - cos(t) + sin(t)cos(t)(1 - cos(t))^2]dt
= a^4[sin(t)cos(t)( -1 + 1 - cos(t) + (1 - cos(t))^2 )]dt
= a^4[sin(t)cos(t)( cos(t) + (1 - cos(t))^2 )]dt
= a^4[sin(t)cos(t)( cos(t) + 1 + cos^2(t) - 2cos(t) )]dt
= a^4[sin(t)cos(t)( 1 + cos^2(t) - cos(t) )]dt
　ここから2倍角の公式を使って変形しても積分はメンドイ。何かうまい方法はないですか。