整数の問題です。証明の指導をお願いします。
特に、素因数分解辺りが正しいのか不安です。

＜問題＞
a,bは自然数とする。
「abとa+bが互いに素でないならばaとbは互いに素でない」ことを証明しなさい。

＜答案＞
a+b=gx…① ab=gy…②（g,x,yは自然数）とする。
ただし、g≠1

①よりa=gx-b ②に代入して b^2=g(bx-y)
同様に a^2=g(ax-y)

∴a^2とb^2は互いに素ではない…③


次に「aとbが互いに素ならばa^2とb^2は互いに素である」を示す。…④

自然数p、q、k、lを用いて、
a=(p_0)^(k_0)*(p_1)^(k_1)*…
b=(q_0)^(l_0)*(q_1)^(l_1)*…
（ただし、n、mを自然数として(p_n)≠(q_m)）
以上のように素因数分解する。

すると
a^2=(p_0)^(2*k_0)*(p_1)^(2*k_1)*…
b^2=(q_0)^(2*l_0)*(q_1)^(2*l_1)*…
であり、a^2とb^2は約数を持たず互いに素である。

∴④は真

④の対偶により、
a^2とb^2が互いに素でないならばaとbは互いに素でないので、
③と併せて aとbは互いに素でない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（おわり）