(4x^2+x+1)/(x^3-1)
=(4x^2+x+1)/{(x-1)(x^2+x+1)}
=a/(x-1)+(bx+c)/(x^2+x+1)
と表せられるので
xについて 次の恒等式が成り立たなければならない
4x^2+x+1=a(x^2+x+1)+(bx+c)(x-1)
=(a+b)x^2+(a-b+c)x+a-c
よって
a,b,cについての連立方程式
a+b=4
a-b+c=1
a-c=1
が成り立つ
よって
a=2, b=2, c=1
したがって
∫{(4x^2+x+1)/(x^3-1)}dx
=∫{2/(x-1)+(2x+1)/(x^2+x+1)}dx
=2log|x-1|+log(x^2+x+1)+C