問題無視してf(x)だけ求めてみたよ
y=f(x)とすると
ydy/dx=e^(2x)-e^(-2x)
∫ydy=∫{e^(2x)-e^(-2x)}dx
y^2=e^(2x)+e^(-2x)+C

e^(2x)+e^(-2x)≧2√{e^(2x)e^(-2x)}=2より
e^(2x)+e^(-2x)+C≧2+C
y^2の最小は2^2=4であるから
4=2+C
∴C=2
よって
y^2=e^(2x)+e^(-2x)+2
={e^x+e^(-x)}^2
y≧2＞0より
y=e^x+e^(-x)