初歩的なことを聞いてすみませんが、質問があります。

nが自然数の時、21n+4/13n+3が既約分数であることを証明せよ
という問題で、ユークリッドの互除法でとけることは確認したのですが、

次のやり方でなぜできないのかわからないのです。

まず、
21n+4/13n+3=a/b(a、bは自然数）とおける

(21n+4)a=b(13n+3)
21an=13bn、 4a=3b

21a=13b、4a=3b

と明らかに間違った結論がでてしまうのですが、なぜでしょうか？
a,bを自然数とおけると仮定したのが間違いかもしれませんが、背理法になってしまっているのでしょうか？