[1]n=1で成立。
[2]n=kの時成立するならば、n=k+1の時成立証明可能。
これが、数学的帰納法
[2]に於いて、k=1,k=2,k=3,k=4を代入して、書き下すと、
[1]n=1で成立。
[2.1]n=1の時成立するならば、n=2の時成立証明可能。
[2.2]n=2の時成立するならば、n=3の時成立証明可能。
[2.3]n=3の時成立するならば、n=4の時成立証明可能。
[2.4]n=4の時成立するならば、n=5の時成立証明可能。
これで、n=1からn=5まで成立するとことが証明できたと思いませんか？

仮定、仮定と言っている人がいるけど、初学生にとっては、別のイメージになってしまうので、あえて、
別の言葉を使うけど、n=kで成立することを「前提」にすると、n=k+1でも成立することが証明できるというのが鍵
[1]において、n=1など、どこか（小さな値）で成立することをすでに確認しているはず。
だから、その確認できている値で「成立した」ことを「前提」にして、その次の値でも成立する事を示しているだけ。
「n=kで成立すると」と言うときのkは、「一般的な値」と考えなくて良い。
すでに[1]で確認した、小さな値、例えば、n=1の時の1がkだと思えば良い。
n=1で成立していることを使えば、n=2で成立する事も言える。今、n=2で成立する事を証明したので、それを前提に、
n=3で成立する事を証明すれば良い。．．．とkの値を逐次変化させることができ、結果的にkは一般的な
値として考えて良いことになる。これが、数学的帰納法。